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大家好，我是数学学霸。这生。这一次，我们将讨论导数的定义及其几何意义、与连续性的关系以及函数的律。你知道导数的定义及其几何意义，与连续性的关系，以及函数的没关系，学霸来帮你。
在谈论导数之前，我们先看两个例子：
直线运动的速度①取从时刻 t0到t这样的时间价格，在这段时间内，质点从现在开始S0=f(t0)移动到s=f(t); (s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0.质点的平均速度。②瞬时速度v=lim ( (f(t) )-(f(t0) )/(t-t0) ) (t→t0)曲线C和切线问题C上的一点M，在点M之外，取一点CN，作割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果各项MN绕点M旋转，趋于极限MT，直线MT曲线C在点M处的切线称为切线。
tan θ=（y-y0）/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)
斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)（x→x0）
一、定义导数
设函数 y=f(x)在点x在0的某域有定义，自变量x在x0处取得增量△x（点x0 △x当它仍在邻域内时，因变量而相应地获得增量 △y=f(x0 △x)-f(x0)；如果 △y与△x之比当△x→0时的极限存在称为函数y=f(x)在点x0处可导，称这个极限为函数y=f(x)的在点x0处可导，称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0),即
也可记住
二、导数的几何意义
曲线在点（x0，y0)切线方程:
曲线在点（x0，y0)法线方程:
注：曲线的 切线方程的斜率 与 曲线的 法线方程的斜率 互为负倒数
三、函数的可导性与连续性的关系
设函数y=f(x)点x处可导，即
存在。通过极限函数和无限关系知道
其中α为当 △x→0时的无限小，上式两侧同乘 △x 得
当 △x→0时，△y→0。由具有极限的函数与无穷小的关系知道
其中α为当 △x→0时的无限小，上式两侧同乘 △x 得
当 △x→0时，△y→0。函数yy=f(x)点x是连续的。因此，如果函数y=f(x)如果可以在点x处导出，那么函数必须在此点连续。
①函数的和、差、积、商
和、差： （u ± v）’=u’± v’
记：和、差导数分别求导，再和、差。
积：(uv)=u' v u v' ， (Cu)'=C u'(C为常数)
乘积导数为 前导后不导加后导前不导(前指 乘积的第一个因素是 乘积中的第二个因子）。
商：(u/v)'=(u' v-u v') / v^2 （v不等于0）
②反函数求导法则
如果函数 x=f(y)单调、可导、可导f '(x)≠0.它的反函数也可以在反函数的范围内导出，且
记住反函数导数 等于 原函数导数倒数
③复合函数的求导法则
如果u=g(x) 点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，然后复合函数 y=f[g(x)]点x可导，其导数为
记：复合函数导数 等于 逐层向内求导，然后乘积。
例如 (sin nx)'=n cos nx
④常用的导数公式
（1）( C )'=0
（2）(x^u)'=u x^(u-1)
（3）(sin x)'=cos x
（4） (cos x)'=-sin x
（5）(tan x)'=sec(^2) x
（6）(cot x)'=-csc(^2) x
（7）(sec x)'=sec x ·tanx
（8）(csc x)'=-csc x cot x
（9）(a^x)'=(a^x) · ln a
（10）(e^x)'=e^x
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
不要怕，学霸来帮你。这些公式有助于记忆:
口诀：
常为零，幂降次，倒数，
指不变，正变余，余变正，
切割方，切乘切，反分式。
口诀含义：
口诀含义：
常数导数为零。
幂函数的导数是指数减一，原指数是系数。
对数函数的导数是倒数。
指数的导数不变，在乘以 ln a。
正弦函数变余弦函数，余弦函数变正弦函数。正切和余切的导数分别为正切和余切。正切和余切的导数分别是 正切乘以正切 和 余切乘以余切反三角函数的导数是分式的。五、高阶导数一般，函数y=f(x)的导数 y'=f'(x)还是x函数。我们把 y'=f'(x)导数称为函数y=f(x)记录二阶导数 y'' 或f'(x)叫做f(x)一阶导数，一阶导数为二阶导数，二阶导数为三级导数。…一般地，（n-1）阶导数的导数叫n阶导数。y', y'' ,y''', y^(4), . . . . . .y^(n)以上内容纯属个人总结的观点，不代表官方的观点。想收藏的朋友可以点击收藏。假如觉得我说得好，请点赞。谢谢支持！欢迎在评论区发表评论。
